3.1.1 术语辨析：增强 vs 复原#

初学者很容易混淆这两个词：

简记：

• 增强 = 美图秀秀（"好看就行"）
• 复原 = 刑侦降噪（"必须是真实的样子"）

增强的评判标准是主观感受——因此同一张图不同场景下"最好的"增强方法可能不同。

3.1.2 空间域的数学定义#

定义 3.1（空间域处理）：设输入图像 $f(x, y)$，处理算子 $T[\cdot]$，输出

则称 $T$ 为空间域算子，如果：

• $T$ 的输出 $g(x, y)$ 仅依赖于 $f$ 在点 $(x, y)$ 或其某个邻域 $S_{xy}$ 内的像素值。

由邻域大小分类：

1
点变换：               邻域运算：
2
                       ┌───┬───┬───┐
3
       (x, y)          │   │   │   │
4
         │             ├───┼───┼───┤
5
       T[·]            │   │★ │   │   ← 中心像素
6
         │             ├───┼───┼───┤
7
         ▼             │   │   │   │
8
       g(x, y)         └───┴───┴───┘
9
                       T[整个窗口]

3.1.3 空间域 vs 频率域：地位的等价性#

卷积定理（第 4 章详证）保证：任何线性空间邻域运算都可以等价地在频率域用乘法实现：

因此，理论上空间域能做的滤波，频域都能做。选择依据只剩工程层面：

记住：空间域直观、频率域优雅。本章学前者，第 4 章学后者，它们是同一枚硬币的两面。

3.2.1 通式#

定义 3.2（灰度变换 / LUT）：无邻域信息的点变换可写为

其中 $r$ 是输入灰度，$s$ 是输出灰度，$T$ 是单调（通常）函数。

工程实现诀窍：把 $T$ 预先算成长度 256 的查找表（LUT），然后对整幅图做数组下标取值——这比逐像素算函数快 10-100 倍。

1
# 把 T 离散化成 LUT，一次性完成
2
table = np.array([T(r) for r in range(256)], dtype=np.uint8)
3
out = table[img]   # numpy 高级索引，向量化
4
# 或等价的：cv2.LUT(img, table)

3.2.2 图像反转 (Negative)#

几何含义：$T$ 是一条从 $(0, L-1)$ 到 $(L-1, 0)$ 的直线，经过对角线反射。

应用场景：

• 医学 X 光片：骨骼吸收多 → 胶片亮 → 背景黑；医生习惯看"黑色骨骼白色背景"，反转后更符合直觉。
• 夜间摄影反相：凸显暗部细节。

1
原图:  0 █████░░░ 255        反转:  0 ░░░█████ 255
2
       暗   →    亮                  亮   ←    暗

3.2.3 对数变换#

加 1 防止 $\log 0$。$c$ 的取值使得 $r = L-1$ 时 $s = L-1$，恰好填满动态范围。

关键性质（必考）：

• $r$ 小时，$\log$ 曲线斜率大 → 暗部被拉伸
• $r$ 大时，斜率小 → 亮部被压缩

物理根源（与第 1 章呼应）：

• 韦伯定律：人眼对亮度的感知接近对数
• 自然图像的动态范围往往 $10^4$ 以上（太阳 vs 阴影），直接显示会丢失大量细节
• 对数变换 ≈ 模拟人眼响应

经典应用——傅里叶频谱可视化：

不做 log，直接 imshow(|F|) 只看到中心一个亮点，其他全黑。这就是为什么第 4 章画频谱永远要先 np.log1p。

3.2.4 幂律变换（Gamma 校正）#

单参数 $\gamma$：

1
# 原图偏暗，用 γ=0.5 提亮
2
gamma = 0.5
3
lut = np.array([((i / 255.0) ** gamma) * 255 for i in range(256)], np.uint8)
4
bright = cv2.LUT(img, lut)

3.2.5 分段线性变换#

单个幂律或对数都是"全局"变换，有时我们只想操作某段。

1
      s ▲
2
  L-1 ┤          ╱
3
      │        ╱
4
      │      ╱            ← 陡峭中段：强对比度
5
      │    ╱
6
      │  ╱
7
    0 ┤─┘  ┌──────────→ r
8
        r1  r2

3.3.1 直方图的严格定义#

定义 3.3（离散直方图）：对 $L$ 级灰度图 $f$，直方图是函数

归一化直方图（概率密度估计）：

解释：$p(r_k)$ 是"随机选一个像素，其灰度等于 $r_k$"的概率。

3.3.2 从直方图判读图像#

1
偏暗:                 偏亮:                 低对比度:             高对比度:
2

3
  █                              █              █                  █
4
  █                              █              █       █          █
5
  ██                             ██           ████                 █
6
  ███                          █ ██            ████       █        █
7
  █████                    ██████              █████                █
8
  ──────→              ──────→                 ──────→              ──────→
9
  0    255             0    255                0    255             0    255

3.3.3 直方图均衡化（HE）——理论推导#

这是本章最重要的算法，必须会从头推导。

1
输入：图像 f，大小 MN
2
1. 计算 h[0..255]  (直方图)
3
2. 计算 CDF: C[k] = C[k-1] + h[k]
4
3. 归一化: s[k] = round((L-1) * C[k] / MN)
5
4. 输出: g(x, y) = s[ f(x, y) ]

1
import numpy as np
2

3
def my_equalize(img, L=256):
4
    h, _ = np.histogram(img.ravel(), L, (0, L))
5
    cdf = h.cumsum()
6
    cdf_min = cdf[cdf > 0].min()
7
    # 关键：减 cdf_min，使得最小值映射到 0
8
    s = np.round((cdf - cdf_min) / (img.size - cdf_min) * (L - 1)).astype(np.uint8)
9
    return s[img]

3.3.4 CLAHE：限制对比度自适应直方图均衡#

为解决全局 HE 的局限，Zuiderveld 1994 提出 CLAHE：

核心思想：

1. 分块：把图分成 $M \times N$ 个小区域（tile，如 8×8）
2. 每块独立 HE
3. 限幅 (Clip Limit)：每块直方图中超过阈值的频次被"削掉"，均匀分给其他 bin
4. 双线性插值：像素位置处于几个 tile 之间时，用插值平滑，避免 tile 边界的块状伪影

限幅的意义：

• 若某 bin 的高度远超阈值，说明这里有大块平坦区，做 HE 会放大这里的噪声
• 限幅 = 抑制噪声放大 + 仍保留对比度增强

1
clahe = cv2.createCLAHE(clipLimit=2.0, tileGridSize=(8, 8))
2
result = clahe.apply(gray)

参数经验：

CLAHE 在医学成像、低光照相机预处理中几乎是默认选择。

3.3.5 直方图匹配（规定化）#

有时我们不想要"均匀"，而想让输出图具有指定的直方图形状 $p_z(z)$（来自参考图像）。

推导（利用 HE 的双向性）：

1. 对输入做 HE：$s = T(r)$
2. 对参考做 HE：$v = G(z)$
3. 由于两者 HE 后都是均匀分布，可以匹配：$s \approx v$
4. 因此 $z = G^{-1}(s) = G^{-1}(T(r))$

伪代码：

1
1. 对 src 计算 CDF_s
2
2. 对 ref 计算 CDF_r
3
3. 对每个 r，找最接近的 z 使 CDF_r(z) ≈ CDF_s(r)
4
4. 建立 LUT: r → z

应用：

• 多模态医学图像归一化（不同设备亮度分布统一）
• 风格迁移的预处理（把夕阳照片的亮度分布迁移到白天照片）
• 卫星影像时序一致性

3.4.1 核心概念：邻域、核、模板#

邻域 $S_{xy}$：以 $(x, y)$ 为中心的一个小窗口。 核 / 掩模 / 模板 (Kernel / Mask)：附着在邻域上的权重矩阵 $w(s, t)$。

3.4.2 相关 vs 卷积（必须搞清楚）#

这是图像处理的地基性定义，很多人搞混。

相关 (Correlation)：核"直接"扫过图像

卷积 (Convolution)：核先**翻转 180°**再扫

1
相关：w 直接"贴"上去           卷积：w 先反射再"贴"
2

3
核 w:                          反射核 w':
4
  1 2 3                           9 8 7
5
  4 5 6                           6 5 4
6
  7 8 9                           3 2 1

几何对称的核（如均值、高斯、拉普拉斯）下，相关 = 卷积。非对称（如 Sobel）下，两者差一个翻转。

3.4.3 边界处理（工程必知）#

当核中心靠近图像边界时，邻域"伸出"图像，需要虚构边界外的值。OpenCV 边界类型：

经验选择：

• 一般滤波：REFLECT_101（最平滑）
• 卷积神经网络：CONSTANT(0)（简单，配合 padding）
• DFT 计算：CONSTANT(0) 或 WRAP（对应循环卷积）

3.5.1 均值滤波（Box / Moving Average）#

1
S(x, y) = f(x, y) + S(x-1, y) + S(x, y-1) - S(x-1, y-1)
2
区域和 = S(x2,y2) - S(x1-1,y2) - S(x2,y1-1) + S(x1-1,y1-1)

3.5.2 高斯滤波（最常用平滑）#

1
# 方式 1：推荐
2
blur = cv2.GaussianBlur(img, (0, 0), sigma)  # k=0 表示按 σ 自动算
3

4
# 方式 2：手动指定 k
5
blur = cv2.GaussianBlur(img, (5, 5), 1.0)

3.5.3 中值滤波（非线性）#

3.5.4 双边滤波（保边滤波的经典）#

3.5.5 非局部均值 (NLM)#

思想：不只看邻域，而看全图中相似的 patch。

$P(x)$ 是以 $x$ 为中心的小 patch（如 7×7）。

直觉：在自然图像中，同一内容（如墙面纹理）会在不同位置重复出现。平均这些重复的 patch 能极大程度去噪而保持结构。

缺点：原始 $O(N^2)$ 很慢，OpenCV fastNlMeansDenoising 做了加速（但还是几种方法中最慢的）。

BM3D 是 NLM 的升级版：对相似 patch 堆叠做 3D 变换 + 协同滤波，是非深度方法中的SOTA。

3.5.6 平滑方法对比表#

* 积分图加速

3.6.1 从微分到差分#

连续函数的微分：

离散图像只能用差分。有三种方案：

实际用中心差分，精度高且对称。

3.6.2 一阶微分算子#

3.6.3 二阶微分：拉普拉斯算子#

1
灰度跃变:       一阶导:          二阶导:
2
 ___             ___              ▲
3
    ___          ▲                │ ▲
4
       ___       │                │ │
5
                 ─────               ─────
6
                                      │
7
                                      ▼ 过零点！

3.6.4 锐化的核心思想#

原理：原图 + 适当比例的边缘图 → 锐化图。

1
f ── 高斯模糊 ──> f_blur
2
     │
3
     └──── 减 ──> mask = f - f_blur    (高频信息)
4
                    │
5
                    │ × k
6
                    ▼
7
f ──── 加 ──> g = f + k × mask

3.6.5 梯度与二阶微分的对比#

3.7.1 经典图像增强流水线#

1
原图
2
  │
3
  ├─ Step 1: Gamma 校正   (压缩动态范围)
4
  │
5
  ├─ Step 2: CLAHE        (局部对比度)
6
  │
7
  ├─ Step 3: 双边/NLM      (保边去噪)
8
  │
9
  ├─ Step 4: Unsharp Mask (锐化细节)
10
  │
11
  └─ Step 5: 可选 sRGB → Linear 再处理
12
  ▼
13
输出

3.7.2 工业例子：手机 HDR#

步骤：

1. 捕获多曝光（-2EV, 0, +2EV）
2. 对齐 (光流/特征)
3. 融合：Mertens 曝光融合（多分辨率金字塔，第 7 章）
4. 色调映射 (Tone Mapping)：log/gamma
5. 局部对比度：CLAHE
6. 去噪：NLM / BM3D
7. 锐化：Unsharp Mask
8. sRGB 编码

✅ 必须掌握#

• 点变换通式 $s = T(r)$，LUT 工程实现
• Gamma、对数变换的公式与曲线形状
• 直方图均衡化 完整推导（从 CDF 到离散实现）
• CLAHE 的两个关键词：分块 + 限幅
• 均值/高斯/中值/双边的公式、直觉、适用噪声、复杂度
• 高斯的三大性质：可分离、时频同形、中心极限
• Sobel / Laplacian 模板与符号
• Unsharp Masking 公式

💡 高频面试题#

Q1. 推导直方图均衡化的变换函数。

要点：设 $s = T(r)$，要求 $p_s$ 均匀 → 由 $p_s = p_r / |ds/dr|$ → $T(r) = (L-1) \int_0^r p_r dw$ = CDF × (L-1)。

Q2. 均值滤波为什么会糊边？

答：边缘处像素灰度发生突变，均值把两侧灰度拉向中值 → 边界两侧的对比度被削弱。可以从频域理解：均值核 FT 为 sinc，对高频（边缘）抑制不充分，但仍降低其幅度。

Q3. 如何选择 Gaussian σ？

答：$\sigma$ 决定"模糊尺度"，经验公式 $k = 6\sigma + 1$ 覆盖 99.7% 能量。工程中：

• 去中等噪声 σ=1
• Canny 预处理 σ=1-2
• 磨皮 σ=3-5

Q4. 给定含椒盐噪声的图，用哪种滤波？

答：中值滤波。均值/高斯会把脉冲"扩散"成 smooth 斑点；中值取排序中点，极值自动被抛弃。如果椒盐比例很高（>30%），用自适应中值。

Q5. 双边滤波为什么能保边？

答：相比高斯，多了一项灰度差高斯。当邻域像素灰度与中心差异大（即穿过边缘），权重急剧下降 → 只平均边缘同一侧的像素，边缘不被跨越平均。

Q6. Unsharp Masking 与拉普拉斯锐化的差别？

答：

• 拉普拉斯：直接用二阶导；对噪声极敏感，且尺度固定（3×3）
• Unsharp：用 Gaussian Blur 的差；可通过 σ 控制"锐化尺度"，可用双边抑噪 → 工程首选

Q7. HE 为什么在某些图上效果很差？

答：HE 是全局操作。当图中存在明显光照差异（如半边阳光半边阴影）时，HE 用统一 CDF 无法兼顾；过度拉伸平坦区域会放大噪声。→ 换 CLAHE 解决。

Q8. 高斯核为什么被广泛使用？

三大原因：

1. 可分离 → 实现快
2. 傅里叶对偶为高斯 → 无振铃，时频紧
3. 中心极限定理 → 多次其他低通的极限都趋近高斯，所以它是"最自然"的低通