Gamma 的历史渊源（重要！）#

CRT 显示器的发光亮度与输入电压的关系近似为： [ L_{\text{display}} = V_{\text{input}}^{2.2} ]

如果图像像素值线性地作为 (V)，那么显示出来的亮度 (L) 会比真实场景偏暗。为了补偿，图像在存储时就做 (\gamma = 1/2.2 \approx 0.45) 的反向预处理： [ V_{\text{store}} = L_{\text{scene}}^{1/2.2} ]

sRGB 色彩空间就标准化了这套流程。因此：

• 你看到的 uint8 像素值不是线性光强度，而是 gamma 编码后的值
• 做任何线性计算（合成、HDR、去噪）前，要先”解码”：(L = V^{2.2})
• 最后显示前再编码回去

⚠️ 这是图像处理中最大的坑之一。很多算法在 uint8 空间直接平均是错的，在 linear float 空间平均才对。

应用：暗图提亮#

1
# 原图偏暗，用 γ=0.5 提亮
2
gamma = 0.5
3
lut = np.array([((i / 255.0) ** gamma) * 255 for i in range(256)], np.uint8)
4
bright = cv2.LUT(img, lut)

对比度拉伸 (Contrast Stretching)#

[ s = \begin{cases} \alpha r & 0 \le r < r_1 \ \beta (r - r_1) + s_1 & r_1 \le r < r_2 \ \gamma (r - r_2) + s_2 & r_2 \le r \le L - 1 \end{cases} ]

常用三段折线把 ([r_1, r_2]) 的窄动态范围拉伸到 ([0, L-1])，两侧压扁。

1
      s ▲
2
  L-1 ┤          ╱
3
      │        ╱
4
      │      ╱            ← 陡峭中段：强对比度
5
      │    ╱
6
      │  ╱
7
    0 ┤─┘  ┌──────────→ r
8
        r1  r2

极端情形：令 (r_1 = r_2 = T)，(\alpha = 0, \gamma = 0, \beta = \infty)，退化为阈值化（第 10 章 Otsu）。

灰度切割 (Gray-Level Slicing)#

只保留某个灰度区间，其他置 0（或保持原值）： [ s = \begin{cases} L-1 & r \in [A, B] \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} ] 用于突出特定对象（如 CT 中某密度的组织）。

位平面切片 (Bit-Plane Slicing)#

将 8-bit 图拆成 8 张二值图，第 (k) 位图： [ b_k(x, y) = \lfloor f(x, y) / 2^k \rfloor \mod 2 ]

观察（非常重要）：

• 高位 (b7, b6)：图像的主体结构
• 低位 (b0, b1)：几乎是随机噪声

启示：

1. 图像压缩只存高 4-5 位损失很小
2. 隐写术 (Steganography) 把秘密信息藏在 b0 里，肉眼看不出
3. 数字水印、指纹

步骤 1：连续形式#

假设灰度 (r) 是连续随机变量，概率密度 (p_r(r))，变换 (s = T(r)) 为单调可微函数。

目标：让输出 (s) 服从均匀分布： [ p_s(s) = \frac{1}{L-1}, \quad s \in [0, L-1] ]

由概率密度的变换公式（雅可比）： [ p_s(s) = p_r(r) \left| \frac{dr}{ds} \right| ]

设 [ s = T(r) = (L-1) \int_0^r p_r(w) , dw \equiv (L-1) \cdot F_r(r) ] （即 (r) 的累积分布函数 CDF 乘以 (L-1)）

求导： [ \frac{ds}{dr} = (L-1) \cdot p_r(r) ]

代入： [ p_s(s) = p_r(r) \cdot \frac{1}{(L-1) p_r(r)} = \frac{1}{L-1} ]

结论：只要 (T) 取成累积分布函数，输出就一定是均匀分布！

步骤 2：离散形式#

[ s_k = T(r_k) = (L-1) \sum_{j=0}^{k} p_r(r_j) = \frac{L-1}{MN} \sum_{j=0}^{k} n_j ] 然后取整： [ s_k \leftarrow \text{round}(s_k) ]

注意：离散 HE 不能得到严格均匀直方图，只是近似。原因是取整合并了某些灰度级。

步骤 3：伪代码#

1
输入：图像 f，大小 MN
2
1. 计算 h[0..255]  (直方图)
3
2. 计算 CDF: C[k] = C[k-1] + h[k]
4
3. 归一化: s[k] = round((L-1) * C[k] / MN)
5
4. 输出: g(x, y) = s[ f(x, y) ]

1
import numpy as np
2

3
def my_equalize(img, L=256):
4
    h, _ = np.histogram(img.ravel(), L, (0, L))
5
    cdf = h.cumsum()
6
    cdf_min = cdf[cdf > 0].min()
7
    # 关键：减 cdf_min，使得最小值映射到 0
8
    s = np.round((cdf - cdf_min) / (img.size - cdf_min) * (L - 1)).astype(np.uint8)
9
    return s[img]

HE 的几何直觉#

一句话记忆：“把 CDF 当作映射函数”。

• 原图 CDF 中”陡峭”的部分 → 对应直方图高峰 → 被拉伸
• 原图 CDF 中”平坦”的部分 → 对应直方图低谷 → 被压缩

效果是把直方图**“摊平”**。

HE 的局限性#

HE 是全局的操作。问题：

1. 会放大噪声：平坦区域（如墙面）被不必要地拉伸
2. 会丢失局部细节：一张有亮天空 + 暗地面的图，HE 倾向于妥协
3. 伪轮廓：离散取整合并灰度级

为什么信号处理教材偏爱卷积？#

因为卷积满足以下良好性质（相关则不满足）：

因此教材公式写卷积，但工程实现用相关（OpenCV filter2D 其实是相关）——对称核下结果一致，非对称核需要事先翻转。

LSI 系统（线性移不变系统）#

定义 3.4：若算子 (H) 同时满足

• 线性：(H[\alpha f_1 + \beta f_2] = \alpha H[f_1] + \beta H[f_2])
• 移不变：(H[f(x - x_0, y - y_0)] = g(x - x_0, y - y_0))

则称 (H) 为 LSI 系统。

重要定理：任何 LSI 系统 都等价于与某个固定核做卷积。这是整个”滤波”理论的根基。

定义#

核： [ w = \frac{1}{mn} \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \ \vdots & & & \vdots \ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}_{m \times n} ]

数学推断：为什么能去噪？#

假设观测 (f(x, y) = s(x, y) + \eta(x, y))，(\eta) 是零均值独立噪声，方差 (\sigma^2)。

对 (m \times n) 邻域求平均： [ \bar{f} = \bar{s} + \bar{\eta} ]

由于独立：(\text{Var}(\bar{\eta}) = \sigma^2 / (mn))。

结论：噪声标准差降低为原来的 (1 / \sqrt{mn})。核越大去噪越狠，但同时也模糊了信号，这就是”去噪-保边”的根本矛盾。

缺点#

• 对边缘（信号的高频成分）同样模糊，造成”糊边”
• 核呈矩形→ 频域为 sinc → 通带外有旁瓣 → 产生”箱效应”

工程加速：积分图#

均值滤波可以用积分图 (Summed Area Table) 做 (O(1)) 每像素：

1
S(x, y) = f(x, y) + S(x-1, y) + S(x, y-1) - S(x-1, y-1)
2
区域和 = S(x2,y2) - S(x1-1,y2) - S(x2,y1-1) + S(x1-1,y1-1)

定义#

[ G_\sigma(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma^2} \exp\left( -\frac{x^2 + y^2}{2 \sigma^2} \right) ]

核心参数 (\sigma)（标准差）：

• (\sigma) 小 → 核窄 → 轻微模糊
• (\sigma) 大 → 核宽 → 重度模糊

核尺寸经验公式：(k = \lceil 6\sigma + 1 \rceil)（奇数），即取到 (3\sigma) 处（覆盖 99.7% 能量）。

高斯的三大优良性质#

性质 1：可分离性

[ G_\sigma(x, y) = G_\sigma(x) \cdot G_\sigma(y) ]

即二维高斯 = 两个一维高斯的乘积。这意味着 (k \times k) 卷积可以拆成两次 (k) 点一维卷积：

(k=25) 时加速 12 倍以上。OpenCV 内部自动分离。

性质 2：时频同形

高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯： [ \mathcal{F}{G_\sigma} = G_{1/\sigma} ]

• 空间上窄 (\Leftrightarrow) 频率上宽
• 不产生振铃（Gibbs）——无旁瓣

这使高斯成为最优 LSI 低通（在时频同时最紧）。

性质 3：中心极限定理

多次卷积趋近高斯：任意核 (h) 自我卷积 (h * h * \cdots * h) (n 次)，(n \to \infty) 时趋近高斯分布。

工程含义：多次均值滤波可以近似高斯滤波。

实现要点#

1
# 方式 1：推荐
2
blur = cv2.GaussianBlur(img, (0, 0), sigma)  # k=0 表示按 σ 自动算
3

4
# 方式 2：手动指定 k
5
blur = cv2.GaussianBlur(img, (5, 5), 1.0)

金科玉律：指定 (\sigma) 比指定核大小更重要。

定义#

[ g(x, y) = \text{median}{f(s, t) : (s, t) \in S_{xy}} ]

非线性：不能写成 (g = w * f)。

为什么对椒盐噪声有效？#

• 椒盐噪声 = 孤立极值（0 或 255）
• 邻域 (n) 像素中，少数几个异常值一定排在排序的极端
• 中值取中间 → 异常值被”投票丢弃”
• 边缘像素仍是多数，因此边缘保留较好

均值 vs 中值的对比#

高级变体#

• 加权中值滤波：对邻域位置加权（离中心远的权重小）
• 自适应中值滤波：窗口自动扩大直到能找到非极值，极端椒盐（>50%）下仍有效
• Vector Median (VMF)：用于彩色图，避免”新颜色”

动机#

高斯滤波只看空间距离，把边缘两侧的像素一起平均 → 糊边。 双边滤波同时考虑空间距离和灰度差异：只平均灰度相近的邻居 → 保边去噪。

公式#

[ g(x, y) = \frac{1}{W(x,y)} \sum_{(s,t) \in S} f(s, t) \cdot G_{\sigma_s}(|(x,y) - (s,t)|) \cdot G_{\sigma_r}(|f(x,y) - f(s,t)|) ]

其中 (W) 是归一化因子： [ W(x, y) = \sum_{(s,t) \in S} G_{\sigma_s}(\cdots) \cdot G_{\sigma_r}(\cdots) ]

分解理解：

• (G_{\sigma_s})：空间高斯（离中心越远权重越小）
• (G_{\sigma_r})：灰度高斯（灰度差越大权重越小）
• 两者相乘 → 既近又相似的邻居才参与平均

参数直觉#

经典选择（8-bit 图）：

• 磨皮美颜：d=9, sigmaColor=50, sigmaSpace=50
• 轻度去噪：d=5, sigmaColor=20, sigmaSpace=5

复杂度问题#

原始实现 (O(k^2)) 每像素，不可分离（因为 (G_r) 依赖于中心像素）。

加速算法：

• Bilateral Grid (Paris 2006)
• Permutohedral Lattice
• Guided Filter (He 2010)：线性时间，效果接近，常被替代

梯度向量#

图像梯度： [ \nabla f = \begin{bmatrix} g_x \ g_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \partial f / \partial x \ \partial f / \partial y \end{bmatrix} ]

幅值 (magnitude)： [ M(x, y) = |\nabla f| = \sqrt{g_x^2 + g_y^2} ]

方向 (angle)： [ \theta(x, y) = \arctan(g_y / g_x) ]

梯度的几何意义：

• 幅值 → 边缘强度
• 方向 → 边缘法线（垂直于边缘）

Roberts 交叉梯度#

[ g_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad g_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{bmatrix} ]

2×2、对角差分。缺点：对噪声敏感、没有对称中心。已被淘汰。

Prewitt 算子（3×3）#

[ g_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad g_y = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} ]

每一行”平均”三行后求差分 → 自带平滑，比 Roberts 抗噪。

Sobel 算子（最常用）#

[ g_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \ -2 & 0 & 2 \ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad g_y = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} ]

Prewitt 的基础上给中央行加权 2 → 更强的平滑。 Sobel 是所有经典算子中平滑与定位平衡最好的。

Sobel 核的分解（再次体现可分离）： [ g_x = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} ] 第一项是平滑（高斯近似），第二项是差分。

Scharr 算子#

[ g_x = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 3 \ -10 & 0 & 10 \ -3 & 0 & 3 \end{bmatrix} ]

相比 Sobel 更强调中心行，有更好的旋转不变性（各向同性更接近理想）。

定义#

[ \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} ]

二阶差分： [ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx f(x+1, y) - 2 f(x, y) + f(x-1, y) ]

两方向相加： [ \nabla^2 f \approx f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1) - 4f(x,y) ]

核（4-邻域）： [ L_4 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 1 & -4 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ]

8-邻域版本加上对角： [ L_8 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & -8 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} ]

性质#

1. 各向同性（旋转不变，(L_8) 更接近理想）
2. 中心权重为负（其他行权重之和 = 中心绝对值）→ 直流（DC）响应为 0，对平坦区无响应
3. 边缘处正负过零点 (zero-crossing) → 标记边缘位置

1
灰度跃变:       一阶导:          二阶导:
2
 ___             ___              ▲
3
    ___          ▲                │ ▲
4
       ___       │                │ │
5
                 ─────               ─────
6
                                      │
7
                                      ▼ 过零点！

拉普拉斯锐化#

[ g(x, y) = f(x, y) - c \cdot \nabla^2 f(x, y) ]

为什么是减号？ 因为拉普拉斯核中心为负 ((-4) 或 (-8))，公式等价于 [ g = f + c |\nabla^2 f| ] 直觉：在边缘处（二阶导绝对值大）增强原像素。

非锐化掩蔽 Unsharp Masking（专业后期锐化）#

流程：

1
f ── 高斯模糊 ──> f_blur
2
     │
3
     └──── 减 ──> mask = f - f_blur    (高频信息)
4
                    │
5
                    │ × k
6
                    ▼
7
f ──── 加 ──> g = f + k × mask

公式： [ g = f + k \cdot (f - \text{Blur}(f)) ]

参数 k：

• (k = 1)：标准 Unsharp
• (k > 1)：High-Boost 滤波（强锐化）
• (k < 0)：变为平滑（极端情况）

为什么 Unsharp Masking 比拉普拉斯好？

• (\sigma) 可调 → 可控”锐化尺度”（只锐化大尺度边缘还是细节）
• 可选用双边代替高斯 → 锐化细节但不放大噪声（人像修图常用）

经典商用锐化参数（Photoshop 风格）#